Spinul 1/2

Vezi subiectul anterior Vezi subiectul urmator In jos

Spinul 1/2

Mesaj Scris de Kenose la data de Sam Dec 21, 2013 7:25 pm

Deoarece este o problemă care a trezit interes pe forum, încerc să profit de timpul liber din această perioadă şi să scriu câte puţin în fiecare seară. Nefiind o direcţie nouă pentru mine îmi este mai uşor să-mi adun ideile, iar din fericire sistemele cu spin 1/2 prezintă într-un fel extrem de simplu comportamentul Naturii la nivel cuantic. Nu vreau să fac o expunere detaliată a mecanicii cuantice, ci să prezint punctual aspecte interesante privitoare la fizica sistemelor cu spin 1/2, pornind de la experimentul Stern-Gerlach şi precesia în câmp magnetic, şi terminând cu entanglementul cuantic şi inegalităţile Bell.

Ca de obicei, orice discuţie pe marginea celor scrise aici este încurajată.


Cuprins:

1. Experimentul Stern-Gerlach
2. Algebra sistemelor de spin 1/2, partea I


Ultima editare efectuata de catre Kenose in Lun Dec 23, 2013 1:08 pm, editata de 2 ori
avatar
Kenose
Moderator global
Moderator global

Mesaje : 305
Puncte : 542
Data de inscriere : 30/11/2012

Vezi profilul utilizatorului

Sus In jos

Re: Spinul 1/2

Mesaj Scris de Rami la data de Sam Dec 21, 2013 7:31 pm

Păi da, chiar eu am impresia că îţi pusesem mai de mult ceva întrebări privind calcularea spinlui, sau aşa ceva.
Mă interesează!
avatar
Rami
Experienced User
Experienced User

Mesaje : 498
Puncte : 648
Data de inscriere : 01/10/2012

Vezi profilul utilizatorului

Sus In jos

Experimentul Stern-Gerlach

Mesaj Scris de Kenose la data de Sam Dec 21, 2013 8:38 pm

1. Descriere

Ideea experimentului este urmatoarea: atomi de argint sunt vaporizati intr-un cuptor prevazut cu o fanta prin care acestia pot evada. Fasciculul obtinut este colimat, ier jetul rezultant trece printr-un camp magnetic neomogen. Toate acestea sunt reprezentate in figura de mai jos, dar ignorati pe moment rezultatul final.


Pentru a intelege ce se intampla, modelul urmator, extrem de simplificat al atomului, este suficient. Atomul de argint are 47 de electroni. 46 dintre acestia formeaza o patura cu simetrie sferica, avand moment cinetic nul, iar ultimul electron se afla pe o stare de moment cinetic orbital nul, dar cu spin. Daca neglijam spinul nuclear (si o sa vedem imediat de ce putem face asta), momentul cinetic total al atomului se datoreaza exclusiv ultimului electron, fiind egal chiar cu spinul acestuia. Nucleul este de cam ori mai greu ca un electron, si momentul magnetic al intregului atom provine, in aceste conditii, exclusiv din momentul magnetic de spin al electronului. Cu alte cuvinte, momentul magnetic al atomului trebuie sa fie proportional cu spinul al electronului, unde factorul de proportionalitate este, intr-o prima aproximatie , cu e sarcina electronului, masa acestuia iar c viteza luminii in vid. De aici rezulta imediat ca un moment magnetic de spin al nucleului este de o mie de ori mai slab decat cel generat de electron, datorita faptului ca ordinul de marime dintre raportul masei unui nucleon si masa electronului este .

Energia de interactie dintre un moment magnetic si un camp magnetic este . Ca un amanunt, aceasta expresie spune ca energia de interactie este maxima atunci cand momentul magnetic este paralel la campul magnetic, si nula atunci cand acesta este perpendicular la camp. Cum forta generata de o astfel de energie de interactie are expresia generala , componenta pe axa z a fortei, in situatia noastra, este

, unde ultimul rezultat este valabil daca nu avem camp pe alte directii.

Acum, e limpede ca fiecare atom ar trebui sa fie deviat de la traiectoria sa initiala, sub actiunea campului, de catre forta scrisa mai sus. Cum atomii au momentele magnetice orientate aleator, nu exista nici o directie preferentiala de deviere. Astfel, daca electronul s-ar roti ca un obiect clasic, toate proiectiile momentului magnetic pe axa z ar trebui sa fie realizate, intre si . In concluzie, ne-am astepta ca la detector sa gasim o pata centrala. Ceea ce se intampla insa, este ca observam doua puncte de intensitate egala. Asta inseamna ca, in acest model in care momentul magnetic este proportional cu spinul electronului, numai doua componente ale proiectiei spinului pe axa z sunt realizate, pe care le notam si . Numeric, acestea se dovedesc a fi egale cu si , unde .

In concluzie, din experimentul Stern-Gerlach invatam ca spinul electronului este cuantificat. Rezultatul este independent de orientarea campului magnetic. Doua puncte de intensitate egala se obtin si daca orientam campul pe directia x sau y, caz in care l-am fi separat in proiectiile spinului pe axa x, respectiv y.

2. Experimentul Stern-Gerlach in cascada

Schema experimentului este reprezentata in figura:



Mai intai trecem fasciculul printr-un camp magnetic pe axa z, astfel incat il separam in doua componente si . Componenta o blocam, si pastram numai fasciculul . Daca il trecem printr-un alt camp orientat pe axa z, obtinem in continuare o singura componenta . Nu mai exista proiectii in jetul nostru. In definitiv, acestea nu ar fi avut cum sa apara decat daca un camp extern ar fi rotit atomii intre cele doua masuratori.

Acum refacem experimentul, dar la a doua masuratoare orientam aparatul pe directia x. Din fasciculul initial , rezulta acum doua componente de intensitate egala, si . Continuam experimentul, blocand fasciculul si plasand un nou aparat pe directia z, in calea fascicului . Rezulta din nou doua fascicule, de proiectii si , desi fasciculul original continea numai componenta . Astfel, aparatul a distrus toata informatia legata de componenta z a spinului. Acesta este cel mai simplu mod de a arata ca nu putem cunoaste simultan doua componente ale spinului, fie pe axele z si x sau oricare alta combinatie.

In comparatie, pentru un titirez clasic momentul cinetic este egal cu , unde I este momentul de inertie al titirezului iar viteza sa unghiulara. Acest moment cinetic poate fi masurat determinand simultan componentele vitezei unghiulare, iar momentul de inertie este calculabil daca stim densitatea de masa a titirezului si forma acestuia, asa ca nu exista nici un impediment in calea determinarii simultane a tuturor componentelor momentului sau cinetic.

Astept orice fel de intrebari, critici sau comentarii. Mesajul urmator va fi ceva mai matematizat, voi arata in el cum se lucreaza formal cu un sistem descris de spinul 1/2.
avatar
Kenose
Moderator global
Moderator global

Mesaje : 305
Puncte : 542
Data de inscriere : 30/11/2012

Vezi profilul utilizatorului

Sus In jos

Re: Spinul 1/2

Mesaj Scris de Rami la data de Dum Dec 22, 2013 7:14 pm

Ce reprezintă notaţiile pentru valorile spinului? Care este provenienţa lor?
avatar
Rami
Experienced User
Experienced User

Mesaje : 498
Puncte : 648
Data de inscriere : 01/10/2012

Vezi profilul utilizatorului

Sus In jos

Re: Spinul 1/2

Mesaj Scris de Kenose la data de Dum Dec 22, 2013 7:49 pm

O intrebare foarte buna. Spinul este un moment cinetic, iar experimentul Stern-Gerlach ne arata ca proiectia sa pe o axa de coordonate este cuantificata. Se poate arata in mecanica cuantica faptul ca nu numai proiectia, ci si valoarea totala a spinului (modulul sau) este cuantificat.

Astfel, daca un moment cinetic clasic poate lua practic orice valoare, un moment cinetic cuantic nu poate avea decat valori intregi sau semintregi ale lui . Spinul unei particule poate fi 0, 1/2, 1, 3/2, 2 si asa mai departe, unde aceste numere iti arata cate unitati are respectivul spin. La o valoare J fixata a spinului, proiectia sa pe orice axa de coordonate merge de la -J la J cu pasul de o unitate . O particula cu spin 0 are proiectia 0 pe orice axa. O particula cu spin 1/2 poate avea pe o axa data proiectia -1/2 sau 1/2 (adica spinul e antiparalel sau paralel cu axa), o particula cu spinul 1 il poate avea proiectat ca -1, 0 sau 1 (antiparalel, perpendicular si paralel).

Deja am vazut in mesajul anterior ca nu se pot determina simultan proiectiile spinului pe 2 axe. Cand stiam proiectia pe axa z, nu cunosteam proiectia pe axa x, iar in momentul in care am proiectat spinul pe axa x, am pierdut informatia legata de axa z. Simultan se poate cunoaste numai valoarea totala a spinului si proiectia pe una dintre axe.

Sper ca te-am lamurit, iar daca nu, discutam in continuare. Mesajul pentru azi inca nu e gata, il postez maine.
avatar
Kenose
Moderator global
Moderator global

Mesaje : 305
Puncte : 542
Data de inscriere : 30/11/2012

Vezi profilul utilizatorului

Sus In jos

Re: Spinul 1/2

Mesaj Scris de Rami la data de Dum Dec 22, 2013 8:17 pm

Mersi, e mult mai clar.
avatar
Rami
Experienced User
Experienced User

Mesaje : 498
Puncte : 648
Data de inscriere : 01/10/2012

Vezi profilul utilizatorului

Sus In jos

Algebra sistemelor de spin 1/2, partea I

Mesaj Scris de Kenose la data de Lun Dec 23, 2013 1:07 pm

Dupa cum am vazut in experimentul Stern-Gerlach, starea unui sistem de spin 1/2 poate fi descrisa de proiectia acestuia pe o axa de coordonate, pe care o alegem sa fie axa z. Cele doua proiectii posibile le notam prin si . Un obiect de forma , unde a este o eticheta care ajuta la identificarea lui, este vectorul de stare asociat unei stari fizice. Fiecarui astfel de vector ii corespunde un element dual, pe care il scriem . Daca vectorul este inmultit cu un numar complex c, ca de exemplu , in dual apare conjugatul complex c*, . Prin contractia unui vector cu un dual obtinem numarul complex . Acesta devine un numar real prin ridicarea la modul patrat. In cazul contractiei unui vector cu propriul sau dual, e clar ca are semnificatia de "norma" a vectorului . In mecanica cuantica, vectorii care sunt asociati unor stari fizice trebuie sa fie normati de asa natura incat sa aiba lungimea 1. Asta inseamna ca, pentru sistemul nostru, si . Mai mult, e clar ca starile + si - se exclud reciproc, dupa cum am vazut in experimentul SG unde, cand am trecut jetul de componenta z+ printr-un aparat pe directia z, am ramas numai cu componenta z+ si nu am obtinut z-. Cu alte cuvinte, starile z+ si z- sunt ortogonale, adica .

Cand am trecut componenta z+ printr-un aparat orientat pe axa x, am obinut insa si componenta x+ si x-. Acesta este un exemplu care demonstreaza validitatea principiului de superpozitie: orice stare fizica este alcatuita ca o superpozitie liniara a altor stari. In baza pe care ne-am ales-o, acest lucru se scrie ca . Dualul acestui vector va fi , si rezulta imediat, din ortogonalitatea starilor + si -, ca , si conditia de normare cere ca . Semnificatia celor doi coeficienti este urmatoarea: in urma trecerii starii printr-un aparat de masura SG pe axa z, reprezinta probabilitatea de a gasi in urma masuratorii starea de proiectie z+, iar starea z-. Acesta este motivul pentru care, cand am trecut jetul z+ prin aparatul orientat pe axa x, am obtinut doua proiectii pe axa x, iar cand am trecut ulterior jetul x+ prin aparatul orientat pe directia z, am obinut proiectiile z+ si z-. Fiecare stare, fie ea z+, z-, sau x+ sau x-, era o superpozitie a proiectiilor pe cealalta axa.

Am discutat pana acum despre stari si superpozitiile lor. Marimilor fizice observabile, precum spinul, le sunt asociate obiecte numite operatori, ce actioneaza pe vectorii de stare. Acesti operatori trebuie sa fie autoadjuncti, dar acesta este un amanunt la care o sa revin mai tarziu. Un operator foarte simplu este proiectorul, ce extrage dintr-o superpozitie o componenta data. Spre exemplu, daca actionam cu proiectorul pe starea definita mai sus, deoarece si , obtinem
, tocmai componenta starii pe directia . A se observa ca aici nu mai vorbim de directie in sensul de orientare in spatiul fizic, ci de directie in spatiul starilor fizice. La fel, prin actiunea proiectorului , gasim . E limpede atunci ca, in spatiul dezvoltat de baza , operatorul lasa orice vector invariant, anume .

Am observat in experimentul SG ca atunci cand am trecut fasciculul z+ prin aparatul orientat pe directia z, am obtinut numai componenta z+. La fel, daca am fi repetat masuratoarea pentru proiectia z-, am fi obtinut numai componenta z-. Asta inseamna ca operatorul asociat proiectiei spinului pe axa z, notat , lasa starile si invariante pana la cel mult o constanta. Aceste constante sunt tocmai valorile proprii ale proiectiei spinului 1/2, si . In limbajul nostru, asta s-ar scrie astfel:





O expresie a operatorului, construita din cei doi vectori de stare, care sa satisfaca simultan ecuatiile de mai sus este , dupa cum se poate verifica imediat. Alti operatori interesanti sunt



si

.

Se observa ca , deci am urcat proiectia cu o unitate hbar, iar actiunea ulterioara asupra noii stari, . Cand componenta nu mai poate fi urcata, operatorul anuleaza starea. Exact la fel, se poate vedea ca operatorul coboara starea + cu o unitate hbar, iar daca il aplicam pe starea -, rezultatul este nul.

In final, acesti vectori si operatori abstracti pot fi reprezentati ca matrice. Conventia este ca vectorii de stare sa fie reprezentati ca matrice coloana, vectorii duali ca matrice linie, iar operatorii vor fi automat reprezentati prin matrice patrate.















Definitia operatorului autoadjunct se intelege usor in reprezentarea matriceala. Daca matricea asociata operatorului este tranpusa (liniile devin coloane) si elementele ei sunt conjugate complex, iar aceasta noua matrice este egala cu cea initiala, atunci operatorul este autoadjunct. Vedem ca este intr-adevar autoadjunct, pe cand si nu sunt.

In mesajul urmator vom construi operatorii de spin pentru directii pe celelalte axe si vectorii or proprii, folosind operatorul si baza pe directia z.
avatar
Kenose
Moderator global
Moderator global

Mesaje : 305
Puncte : 542
Data de inscriere : 30/11/2012

Vezi profilul utilizatorului

Sus In jos

Re: Spinul 1/2

Mesaj Scris de Rami la data de Mar Dec 24, 2013 12:48 pm

Kenose a scris:





Poate este o întrebare prostească, dar mie nu-mi e clar de ce în prima matrice se obţine iar la următoarele ? Poţi dezvolta puţin?
avatar
Rami
Experienced User
Experienced User

Mesaje : 498
Puncte : 648
Data de inscriere : 01/10/2012

Vezi profilul utilizatorului

Sus In jos

Re: Spinul 1/2

Mesaj Scris de Kenose la data de Mar Dec 24, 2013 3:40 pm

Sigur, dar totul reiese imediat din definita operatorilor. Hai sa luam un element de matrice al lui , de exemplu , si sa il calculam cu definitia operatorului in termeni de starile + si -:

, deoarece starile + si - sunt ortonormate, adica fiecare are lungimea 1 si sunt "perpendiculare" una pe cealalta, astfel incat contractia lor face 0.

Sa calculam acum elementul :

, tot datorita ortonormarii starilor + si -.

Hmm, se pare ca nu pot sa afisez corect primul calcul mai lung. Are administratorul idee cum se poate continua pe un rand suplimentar?
avatar
Kenose
Moderator global
Moderator global

Mesaje : 305
Puncte : 542
Data de inscriere : 30/11/2012

Vezi profilul utilizatorului

Sus In jos

Re: Spinul 1/2

Mesaj Scris de Administrator la data de Mar Dec 24, 2013 4:04 pm

Da, foloseşti codecogs.com, aşa cum am scris la instrucţiuni, dar faci ecuaţiile mai multe şi mai scurte (le afişezi una după alta).
Când copiezi formatul HTML, ai grijă să setezi rezoluţia la 120, că altfel nu se mai înţelege nimic.

Administrator
Administrator
Administrator

Mesaje : 51
Puncte : 244
Data de inscriere : 30/09/2012

Vezi profilul utilizatorului http://cunoastere.wikiforum.ro/portal

Sus In jos

Re: Spinul 1/2

Mesaj Scris de Continut sponsorizat


Continut sponsorizat


Sus In jos

Vezi subiectul anterior Vezi subiectul urmator Sus


 
Permisiunile acestui forum:
Nu puteti raspunde la subiectele acestui forum