Sumă

Vezi subiectul anterior Vezi subiectul urmator In jos

Sumă

Mesaj Scris de 81MCN la data de Mier Ian 22, 2014 4:09 pm

Îmi poate da cineva o idee cum aș putea să arăt dacă este adevărată (sau nu) inegalitatea:



mai exact, dacă



unde este al n-lea număr prim.

81MCN
Experienced User
Experienced User

Mesaje : 279
Puncte : 293
Data de inscriere : 29/11/2013

Vezi profilul utilizatorului

Sus In jos

Re: Sumă

Mesaj Scris de 81MCN la data de Mier Ian 22, 2014 4:19 pm

Scuze, o mică corecție, suma pleacă de la și nu de la :


81MCN
Experienced User
Experienced User

Mesaje : 279
Puncte : 293
Data de inscriere : 29/11/2013

Vezi profilul utilizatorului

Sus In jos

Re: Sumă

Mesaj Scris de Kenose la data de Mier Ian 22, 2014 4:33 pm

Au trecut vremurile cand imi bateam capul cu probleme de analiza, dar cred ca in primul rand trebuie sa verifici daca suma din paranteza este convergenta. Teste de convergenta sunt garla aici.

Ia sa incercam sa aplicam cel mai simplu test, anume testul raportului. Sa verifici si tu singur daca ce fac aici e bine, da conform cu ce e scris in wiki, in cazul nostru cred ca obtinem



Astfel, din criteriu rezulta ca suma este intr-adevar convergenta, si are sens sa ne intrebam cum ii calculam limita. Aici chiar habar n-am, nu cunosc rezultate utile in teoria numerelor prime  Surprised . Nici nu stiu daca exista un algoritm in momentul de fata care sa-ti spuna, pentru un numar oarecare x, daca este prim sau nu.
avatar
Kenose
Moderator global
Moderator global

Mesaje : 305
Puncte : 542
Data de inscriere : 30/11/2012

Vezi profilul utilizatorului

Sus In jos

Re: Sumă

Mesaj Scris de 81MCN la data de Mier Ian 22, 2014 5:05 pm

Le-am calculat acum, așa...băbește.
După ce trece de numere prime mai mari ca 250 suma deja depășește 3/2, iar rezultatul total din dreapta depășește 1.
M-ar fi ajutat la ceva, dar cade.
Oricum, mulțumesc pentru răspuns.

81MCN
Experienced User
Experienced User

Mesaje : 279
Puncte : 293
Data de inscriere : 29/11/2013

Vezi profilul utilizatorului

Sus In jos

Re: Sumă

Mesaj Scris de Kenose la data de Mier Ian 22, 2014 5:16 pm

Tocmai am aflat ca suma din paranteze e de fapt divergenta, lucru demonstrat de Euler. Nu-mi dau seama unde am gresit aplicand testul raportului.
avatar
Kenose
Moderator global
Moderator global

Mesaje : 305
Puncte : 542
Data de inscriere : 30/11/2012

Vezi profilul utilizatorului

Sus In jos

Re: Sumă

Mesaj Scris de Orakle la data de Joi Ian 23, 2014 2:22 am

Intradevar este demonstrata ca suma este divergenta.Asa din prima citire cred ca confunzi tu criterile de la serii cu criterile de la siruri. Dar si asa limita care ai scris-o este 1. SmileSmile Nu ?

Orakle
Advanced User
Advanced User

Mesaje : 174
Puncte : 180
Data de inscriere : 05/09/2013

Vezi profilul utilizatorului

Sus In jos

Re: Sumă

Mesaj Scris de Kenose la data de Joi Ian 23, 2014 9:14 am

Criteriile menționate sunt pentru serii. Acuma, m-am gândit că dacă , atunci raportul lor e subunitar mereu, deci seria e convergentă conform criteriului(?!). Asta e cam ciudat, că aceeași condiție e satisfăcută și de seria cu termenul general de forma , și totuși și aceea e divergentă.
avatar
Kenose
Moderator global
Moderator global

Mesaje : 305
Puncte : 542
Data de inscriere : 30/11/2012

Vezi profilul utilizatorului

Sus In jos

Re: Sumă

Mesaj Scris de 81MCN la data de Joi Ian 23, 2014 11:10 am

Vreau să exprim prin simbolurile sumei și produsului termenul :



Este corectă aceasta de mai jos (?):

81MCN
Experienced User
Experienced User

Mesaje : 279
Puncte : 293
Data de inscriere : 29/11/2013

Vezi profilul utilizatorului

Sus In jos

Re: Sumă

Mesaj Scris de 81MCN la data de Joi Ian 23, 2014 11:53 am

81MCN a scris:
Cu alte cuvinte, pentru

obține o valoare aproximativă, cu o eroare foarte mică, a numărului de numere prime până la x:


Justificarea expresiei de mai sus.

Până la un număr x toate numerele care nu sunt prime se divid cu un număr prim mai mic sau egal cu .
Numărul numerelor care se divid cu 2 este , mai exact, cu o eroare de , am putea să luăm doar partea întreagă .
Numărul numerelor care se divid cu 3 este , dar din numărul acestor numere sunt numere care se divid și cu 2, iar de aici putem stabili că numărul de numere care se divid cu 3 și nu se divid cu 2 este

Până în acest moment, numărul aproximativ de numere care se divid cu 2 și cu 3 până la x este

Iar de aici putem deduce numărul aproximativ de numere până la x care nu se divid cu 2 și cu 3 :


Procedând în mod asemănător, numărul de numere până la x, care se divid cu , dar nu se divid cu niciun număr prim mai mic ca este


Spre exemplu, .

numere se divid cu 11, sunt numere care se divid cu 11, dar se divid și cu 2, sunt numere care se divid cu 11, dar se divid și cu 3, însă din , se divid și cu 2 și cu 3.
Dacă din scădem atunci valoarea obținută este o valoare aproximativă a numărului de numere care se divid cu 11, dar nu se divid și cu 2.
În continuare, pentru a obține numărul de numere care se divid cu 11 dar nu se divid cu 2 și cu 3, din trebuie să scădem doar numerele care se divid cu 3, dar nu se divid și cu 2, pentru că acestea au fost deja scăzute prin termenul .
Numărul de numere care se divid cu 3 și nu se divid cu 2 este așa cum este arătat anterior.
Dar în loc de x va fi pentru că dorim să aflăm numărul de numere până la x care se divid cu 11, dar nu se divid cu 2 și cu 3. Acest număr va fi
Așadar, numărul de numere până la x care se divid cu 11, dar nu se divid cu 2 și cu 3 va fi





În mod identic se procedează și pentru numerele prime mai mici ca 11, dar mai mari ca 2 și 3, ajungându-se la obține valoarea

ca fiind numărul de numere până la x care se divid cu 11, dar nu se divid cu niciun număr prim mai mic ca 11.

Dacă și aplicând raționamentul de mai sus, atunci obținem

numărul de numere care nu sunt prime, acestea divizându-se cu unul din numerele prime mai mici ca dacă .
Prin urmare, cunoscând numărul de numere care nu sunt prime, putem afla numărul de numere care sunt prime :
.

Dar în acest fel nu sunt numărate și numerele prime 2, 3, 5, ..., , pentru că ele au fost scăzute ca și factori (numere divizibile cu p ), iar o valoare mai exactă ar fi .

Explicația este destul de greoaie și dificilă de înțeles din prima, dar este totuși un raționament corect.
Ideal ar fi să poată avea și o utilitate practică, dar mă îndoiesc, fiind mult mai simplu folosirea logaritmului natural pentru calcularea lui .

Totuși, dacă am nota , atunci


Ultima editare efectuata de catre 81MCN in Vin Ian 24, 2014 9:57 am, editata de 2 ori

81MCN
Experienced User
Experienced User

Mesaje : 279
Puncte : 293
Data de inscriere : 29/11/2013

Vezi profilul utilizatorului

Sus In jos

Re: Sumă

Mesaj Scris de Orakle la data de Joi Ian 23, 2014 8:15 pm

Pare corecta exprimarea.Cel putin eu asa o vad.

Orakle
Advanced User
Advanced User

Mesaje : 174
Puncte : 180
Data de inscriere : 05/09/2013

Vezi profilul utilizatorului

Sus In jos

Re: Sumă

Mesaj Scris de Orakle la data de Joi Ian 23, 2014 8:53 pm

Kenose a scris:Criteriile menționate sunt pentru serii. Acuma, m-am gândit că dacă , atunci raportul lor e subunitar mereu, deci seria e convergentă conform criteriului(?!). Asta e cam ciudat, că aceeași condiție e satisfăcută și de seria cu termenul general de forma , și totuși și aceea e divergentă.

Intradevar este un criteriu si pentru serii .Smile Dar raportul la limita este 1.In concluzie nu poti sa afirmi ca este divergenta sau convergenta folosind acest criteriu.
Problema este similara ca si la seria cu termenul general   deoarece si in acel caz:
si trebuie sa cauti un alt criteriu sa poti spune ceva despre natura seriei.

Orakle
Advanced User
Advanced User

Mesaje : 174
Puncte : 180
Data de inscriere : 05/09/2013

Vezi profilul utilizatorului

Sus In jos

Re: Sumă

Mesaj Scris de 81MCN la data de Dum Ian 26, 2014 3:44 pm

Deși nu este explicată într-o manieră profesionistă, formula din mesajele anterioare poate fi scrisă altfel.
Mai exact, printr-o formulare mai simplă,
pentru
cea mai bună aproximare a numărului de numere prime până la x este :




Precizia este cu atât mai ridicată cu cât valoarea lui x este mai apropiată de .

Se observă oarecum, legătura dintre funcția zeta Riemann și numerele prime, prin exprimarea acesteia sub formă de produs (Euler):


81MCN
Experienced User
Experienced User

Mesaje : 279
Puncte : 293
Data de inscriere : 29/11/2013

Vezi profilul utilizatorului

Sus In jos

Re: Sumă

Mesaj Scris de 81MCN la data de Lun Ian 27, 2014 10:44 am

În mesajul anterior este o greșeală :
81MCN a scris:
Se observă oarecum, legătura dintre funcția zeta Riemann și numerele prime, prin exprimarea acesteia sub formă de produs (Euler):


Egalitatea corectă este :

81MCN
Experienced User
Experienced User

Mesaje : 279
Puncte : 293
Data de inscriere : 29/11/2013

Vezi profilul utilizatorului

Sus In jos

Re: Sumă

Mesaj Scris de Continut sponsorizat


Continut sponsorizat


Sus In jos

Vezi subiectul anterior Vezi subiectul urmator Sus


 
Permisiunile acestui forum:
Nu puteti raspunde la subiectele acestui forum